Persamaan Gerak

Untuk lebih tepatnya, bagian ini harusnya berjudul "Persamaan gerak satu dimensi untuk percepatan konstan". Mengingat bahwa judul seperti itu akan menjadi mimpi buruk untuk dibahas, biarkan saya memulai bagian ini dengan kualifikasi berikut. Persamaan gerak ini hanya berlaku ketika akselerasi konstan dan gerak dibatasi hanya pada garis lurus.

Bagi banyak orang, "satu-dimensi" berarti "satu arah". Penambahan dimensi lain pada sesuatu berarti memperkenankannya bergerak ke arah baru. Cukup benar, tapi, Anda mungkin bertanya, bagaimana dengan huruf ‘S’? Saat menuliskan ‘S’, pena Anda membuat kurva ke arah-arah berlainan. Bagaimana mungkin bentuk akhirnya masih 1D? Bayangkan sebuah dot (titik) bernama Fred yang tinggal di garis lurus (gambar 1.1). Fred tak bisa bergerak ke luar garis dan dilarang bergerak ke atas atau ke bawah. Kita katakan gerakan ini satu-dimensi. Nyatanya, karena garis merupakan keseluruhan alam semesta Fred, kita katakan dia tinggal di alam semesta 1D. Tapi bagaimana kalau alam semestanya adalah huruf ‘S’? Berapa banyak dimensi yang dia tinggali sekarang? Jawabannya tetap satu. Dia masih dilarang bergerak ke atas atau ke bawah garis. Hidupnya mungkin kini lebih menarik karena terdapat beberapa belokan untuk dilalui, tapi melengkungkan sebuah bentuk tidaklah menambah jumlah dimensinya. (Ngomong-ngomong, karena Fred sendiri hanyalah dot, atau ‘titik’ menurut definisi matematis, dia merupakan makhluk nol-dimensi.)

Dalam hal ini garis dikatakan satu-dimensi (1D), luas adalah dua-dimensi (2D), dan volume adalah tiga-dimensi (3D). Adakah suatu alasan mengapa saya tidak terus beranjak ke dimensi lebih tinggi? Apa yang begitu istimewa dengan angka tiga sampai kita harus berhenti di situ? Jawabannya adalah, tentu saja, kita hidup di alam semesta yang mempunyai tiga dimensi ruang; kita mempunyai kebebasan untuk bergerak ke depan/ke belakang, ke kiri/ke kanan, dan ke atas/ke bawah, tapi mustahil bagi kita untuk menunjuk ke arah baru yang siku-siku terhadap tiga arah lain tersebut. Dalam matematika, ketiga arah ke mana kita bebas bergerak ini disebut saling tegak lurus. Anda mungkin tergoda untuk mengabaikan bagian ini secara langsung. Akan benar untuk mengatakan bahwa tidak ada objek yang pernah bepergian dalam garis lurus dengan percepatan konstan di mana saja di alam semesta setiap saat - tidak hari ini, bukan kemarin, bukan besok, bukan lima miliar tahun lalu, bukan tiga puluh miliar tahun di masa depan, tidak akan pernah. Ini bisa saya katakan dengan kepastian metafisik mutlak.

Jadi apa gunanya bagian ini? Nah, dalam banyak contoh, berguna untuk mengasumsikan bahwa suatu objek melakukan atau akan melakukan perjalanan sepanjang jalan yang pada dasarnya lurus dan dengan percepatan yang hampir konstan. Artinya, setiap penyimpangan dari gerakan ideal yang pada dasarnya dapat diabaikan. Gerak sepanjang jalur melengkung dapat dianggap efektif satu dimensi jika hanya ada satu derajat kebebasan untuk objek tersebut bergerak. Sebuah jalan mungkin memutar dan menjelajahi segala macam arah, tetapi mobil-mobil yang melaju di atasnya hanya memiliki satu derajat kebebasan - kebebasan untuk berkendara dalam satu arah atau arah yang berlawanan. (Anda tidak dapat mengemudi secara diagonal di jalan dan berharap untuk bertahan lama.) Dalam hal ini, tidak seperti gerakan terbatas pada garis lurus. Mendekati situasi nyata dengan model yang didasarkan pada situasi ideal tidak dianggap curang. Ini adalah cara menyelesaikan hal-hal dalam fisika. Ini adalah teknik yang sangat bermanfaat yang akan kita gunakan berulang kali.

Tujuan kami di bagian ini, adalah untuk menurunkan persamaan baru yang dapat digunakan untuk menggambarkan gerakan suatu objek dalam hal tiga variabel kinematiknya: kecepatan (v), posisi (s), dan waktu (t). Ada tiga cara untuk memasangkannya: kecepatan-waktu, posisi-waktu, dan posisi-kecepatan. Dalam urutan ini, mereka juga sering disebut persamaan gerak pertama, kedua, dan ketiga, tetapi tidak ada alasan kuat untuk mempelajari nama-nama ini.

Karena kita berurusan dengan gerakan dalam garis lurus, arah akan ditunjukkan dengan tanda positif (+) menunjuk ke satu arah, sementara tanda negatif (-) menunjuk ke arah sebaliknya. Menentukan arah mana yang positif dan mana yang negatif sepenuhnya menjadi wewenang anda. Hukum-hukum fisika bersifat isotropik; artinya, mereka tidak bergantung pada orientasi sistem koordinat. Ketika anda telah menentukan suatu arah positif di atas yang lainnya, maka selama Anda konsisten dengan hal tersebut, itu tidak masalah.

Kecepatan-Waktu

Hubungan antara kecepatan dan waktu adalah hal yang sederhan. Semakin lama suatu objek dipercepat, maka akan semakin besar pula perubahan kecepatannya. Perubahan dalam kecepatan berbanding lurus dengan waktu ketika percepatan konstan. Jika suatu benda sudah bergerak dengan kecepatan tertentu kemudian dipercepat, maka kecepatan barunya adalah kecepatan lama ditambah perubahan kecepatannya.

Ini adalah yang paling mudah untuk diturunkan menggunakan aljabar diantara tiga persamaan lainnya. Kita akan mulai dari definisi percepatan.

$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$

Karen perubahan kecepatan adalah kecepatan akhir dikurang kecepatan awal ( $\Delta v=v - v_{0}$ ) dan perubahan waktu adalah waktu akhir benda bergerak dikurang waktu awal nya ( $\small \Delta t=t-t_{0}$ ), atau dapat kita tulis ( $\small \Delta t=t$ ) jika kita menganggap nilai ( $\small t_{0}=0$ ).

$a=\frac{v - v_{0}}{t}$

Kemudian ubah bentuk persamaannya agar menjadi persamaan $v$ sebagai fungsi $t$ .

$v=v_{0}+at [1]$

Ini adalah persamaan gerak pertama. Ini ditulis seperti polinomial - sebuah istilah konstan ( $v_{0}$ ) diikuti oleh istilah urutan pertama ( $at$ ) atau lebih tepat untuk menyebutnya sebagai fungsi linear.

Simbol $v_{0}$ [vee nought] disebut kecepatan awal atau kecepatan waktu $t=0$ . Hal ini sering dianggap sebagai "kecepatan pertama" tetapi ini adalah cara yang agak naif untuk mendeskripsikannya. Definisi yang lebih baik adalah mengatakan bahwa kecepatan awal adalah kecepatan yang dimiliki objek bergerak ketika pertama kali menjadi penting dalam suatu masalah. Katakanlah sebuah meteor telah terlihat jauh di angkasa dan masalahnya adalah untuk menentukan lintasannya, maka kemungkinan kecepatan awalnya adalah kecepatannya ketika pertama kali diamati. Tetapi jika masalahnya adalah tentang meteor yang sama terbakar saat masuk kembali, maka kecepatan awal mungkin adalah kecepatan yang ada ketika memasuki atmosfer bumi. Jawaban untuk "Berapa kecepatan awalnya?" adalah "Itu tergantung". Ini ternyata jawaban untuk banyak pertanyaan.

Simbol $v$ adalah kecepatan beberapa saat setelah kecepatan awal. Ini sering disebut kecepatan akhir tetapi ini tidak membuatnya menjadi "kecepatan terakhir" objek. Ambillah kasus meteor. Kecepatan apa yang ditunjukkan oleh simbol $v$ ? Jika Anda telah memperhatikan, maka Anda seharusnya mengantisipasi jawabannya. Tergantung. Bisa jadi kecepatan yang dimiliki meteor saat melewati bulan, saat memasuki atmosfer Bumi, atau saat ia menyerang permukaan Bumi. Bisa juga kecepatan meteorit saat berada di dasar kawah. (Dalam hal ini $v=0$ ). Apakah ada di antara kecepatan akhir ini? Siapa tahu. Seseorang bisa mengambil meteorit itu dari lubangnya di tanah dan membawanya pergi. Apakah ini relevan? Mungkin tidak, tetapi itu tergantung. Tidak ada aturan untuk hal semacam ini. Anda harus mengurai teks masalah untuk kuantitas fisik dan kemudian menetapkan makna untuk simbol-simbol matematika.

Bagian terakhir dari persamaan ini adalah perubahan dalam kecepatan dari nilai awal. Ingat bahwa a adalah laju perubahan kecepatan dan t adalah waktu setelah beberapa kejadian awal. Jika sebuah objek berakselerasi pada $10 m/s^{2}$ , setelah 5 detik akan bergerak sejauh $50m/s$ lebih cepat. Jika kecepatan awalnya $15 m/s$ , maka kecepatannya setelah 5 s adalah?

Untuk menyelesaikan masalah diatas dapat menggunakan persamaan gerak pertama:

$v=v_{0}+at$

$v=15\frac{m}{s}+(10\frac{m}{s^{2}})(5s)$

$v=65\frac{m}{s}$

Waktu-Posisi

Perpindahan objek ketika bergerak berbanding lurus dengan kecepatan dan waktu. Jika suatu objek bergerak lebih cepat maka objek tersebut akan pergi lebih jauh, dan ketika objek bergerak lebih lama maka objek tersebut akan pergi lebih jauh pula. Percepatan itu sendiri memadukan situasi sederhana ini karena kecepatan itu juga berbanding lurus dengan waktu. Coba ucapkan ini dengan kata-kata dan kedengarannya konyol. "Perpindahan berbanding lurus dengan waktu dan berbanding lurus dengan kecepatan, yang berbanding lurus dengan waktu." Waktu adalah faktor dua kali, membuat perpindahan sebanding dengan kuadrat waktu. Mobil yang berakselerasi selama dua detik akan mencakup empat kali jarak mobil yang melaju hanya satu detik ( $2^{2}=4$ ). Mobil yang berakselerasi selama tiga detik akan mencakup sembilan kali jarak mobil yang bergerak hanya selama satu detik $(3^{2}=9)$ .

Apakah itu sangat sederhana. Contoh ini hanya berfungsi ketika kecepatan awal nol. Perpindahan sebanding dengan kuadrat waktu ketika akselerasi konstan dan kecepatan awal nol. Pernyataan umum yang benar harus memperhitungkan setiap kecepatan awal dan bagaimana kecepatan berubah. Perpindahan berbanding lurus dengan waktu dan sebanding dengan kuadrat waktu ketika percepatan konstan. Sebuah fungsi yang linear dan persegi dikatakan kuadrat, yang memungkinkan kita untuk memadatkan pernyataan sebelumnya secara signifikan. Perpindahan adalah fungsi kuadrat waktu ketika percepatan konstan

Pernyataan proporsionalitas berguna, tetapi tidak sesingkat persamaan. Kami masih tidak tahu apa konstanta proporsionalitas untuk masalah ini. Salah satu cara untuk mengetahuinya adalah dengan menggunakan aljabar.

Mulailah dengan definisi kecepatan.

$\bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$

Jika $\Delta s=s-s_{0}$ dan $\Delta t=t$ .

$\bar{v}=\frac{s-s_{0}}{t}$

Kemudian ubah bentuk persamaannya.

$s=s_{0}+\bar{v}t \textbf{[a]$

Untuk melanjutkan, kita perlu menggunakan sedikit trik yang dikenal sebagai teorema kecepatan rata-rata atau aturan Merton. Saya lebih suka yang terakhir karena aturan dapat diterapkan pada kuantitas yang berubah pada tingkat yang seragam - bukan hanya kecepatan. Aturan Merton pertama kali diterbitkan pada 1335 di Merton College, Oxford oleh filsuf Inggris, matematikawan, ahli logika, dan kalkulator William Heytesbury. Ketika laju perubahan kuantitas konstan, kuantitas berubah pada tingkat yang seragam sehingga nilai rata-ratanya berada di tengah antara nilai awal dan nilai akhir.

$\bar{v}=1/2(v+v_{0})\textbf{[4]}$

Ganti subtitusi persamaan gerak pertama [1] ke dalam persamaan ini [a] dan sederhanakan dengan maksud menghilangkan $v$ .

$\bar{v}=\frac{1}{2}[(v_{0}+at)+v_{0}]$

$\bar{v}=\frac{1}{2}(2v_{0}+at)$

$\bar{v}=v_{0}+\frac{1}{2}at$

Sekarang gantikan [b] menjadi [a] untuk menghilangkan $\bar{v}$ [vee bar].

$s=s_{0}+(v_{0}+\frac{1}{2}at)t$

Dan akhirnya, pecahkan s sebagai fungsi t.

$s=s_{0}+v_{0}t+\frac{1}{2}at^{2}$

Ini adalah persamaan gerak kedua. Ini ditulis seperti polinomial - sebuah istilah konstan ( $s_{0}$ ), diikuti oleh istilah orde pertama ( $v_{0}t$ ), diikuti oleh istilah urutan kedua ( $1/2at^{2}$ ). Karena pangkat tertinggi adalah 2, maka lebih tepat untuk menyebutnya persamaan kuadrat.

Dalam masalah ini simbol $s_{0}$ [ess nought] sering dianggap sebagai posisi awal. Simbol $s$ adalah posisi beberapa waktu t kemudian. Anda bisa menyebutnya posisi terakhir jika Anda mau. Perubahan posisi ( $\Delta s$ ) disebut perpindahan atau jarak (tergantung pada keadaan) dan beberapa orang lebih suka menulis persamaan di atas seperti ini.

$\Delta s=v_{0}t+\frac{1}{2}at^{2}$

Posisi-Kecepatan

Dua persamaan pertama dari gerak masing-masing menggambarkan satu variabel kinematik sebagai fungsi waktu. Intinya ...

Kecepatan langsung berbanding lurus dengan waktu ketika percepatan konstan (v ∝t).

Perpindahan sebanding dengan waktu kuadrat saat percepatan konstan (∆s ∝ t2).

Menggabungkan dua pernyataan ini menghasilkan pernyataan ketiga - yang tidak bergantung pada waktu. Dengan menggunakan metode substitusi, jelas bahwa ...

Perpindahan sebanding dengan kecepatan kuadrat saat percepatan konstan (∆s ∝ v2).

Pernyataan ini sangat relevan untuk keselamatan berkendara. Ketika Anda menggandakan kecepatan mobil, dibutuhkan jarak empat kali lebih banyak untuk menghentikannya. Jika kecepatannya dinaikkan menjadi tiga kali lipat, maka Anda akan membutuhkan jarak sembilan kali lebih banyak untuk menghentikan mobil nya. Ini adalah aturan praktis yang baik untuk diingat.

Pengenalan konseptual dilakukan. Waktu untuk menurunkan persamaan formal. Gabungkan dua persamaan pertama bersama-sama dengan cara yang akan menghilangkan waktu sebagai variabel. Cara termudah untuk melakukan ini adalah memulai dengan persamaan pertama ...

$v=v_{0}+at[1]$

jika bentuknya diubah maka ...

$t=\frac{v-v_{0}}{a}$

dan kemudian subtitusi ke dalam persamaan kedua ...

$s=s_{0}+v_{0}t+\frac{1}{2}at^{2}$

seperti ini…

$s=s_{0}+v_{0}\left [ \frac{ v-v_{0}}{a} \right ]+\frac{1}{2}a\left [ \frac{ v-v_{0}}{a} \right ]^{2}$

$s-s_{0}=\frac{ vv_{0}-v_{0}^{2}}{a}+\frac{ v^{2}-2vv_{0}+v_{0}^{2}}{2a}$

$2a(s-s_{0})=2(vv_{0}-v_{0}^{2})+(v^{2}-2vv_{0}+v_{0}^{2})$

$2a(s-s_{0})=v^{2}-v_{0}^{2}$

Itu tidak terlalu menyenangkan, tetapi itu adalah cara yang mudah. Substitusi sebaliknya dari persamaan [2] ke persamaan [1] akan menjadi mimpi buruk jika dilakukan. Dalam kedua kasus ini, ketika Anda selesai, Anda akan mendapatkan persamaan berikut ...

$v^{2}=v_{0}^{2}+2a(s-s_{0})[3]$

Ini adalah persamaan gerak ketiga. Sekali lagi, simbol s0 [ess nought] adalah posisi awal dan s adalah posisi beberapa waktu kemudian. Jika Anda suka, Anda dapat menulis persamaan menggunakan ∆s - perubahan posisi, perpindahan, atau jarak ketika situasi pantas.

$v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta s$

Derivasi Kalkulus

Kalkulus adalah topik matematika tingkat lanjut, tetapi membuat dua dari tiga persamaan gerak menjadi jauh lebih sederhana. Menurut definisi, akselerasi adalah turunan pertama dari kecepatan terhadap waktu. Ambil operasi dalam definisi itu dan balikkan. Alih-alih membedakan kecepatan untuk menemukan akselerasi, integrasikan percepatan untuk menemukan kecepatan. Ini memberi kita persamaan kecepatan-waktu. Jika kita mengasumsikan percepatan adalah konstan, kita mendapatkan apa yang disebut persamaan gerak pertama [1].

$a=\frac{dv}{dt}$

$dv=a(dt)$

$\int_{v_{0}}^{v}dv=\int_{0}^{t}a(dt)$

$v-v_{0}=at$

$v=v_{0}+at$

Sekali lagi menurut definisi, kecepatan adalah turunan pertama dari posisi terhadap waktu. Membalikkan operasi dalam definisi. Alih-alih membedakan posisi untuk menemukan kecepatan, mengintegrasikan kecepatan untuk menemukan posisi. Ini memberi kita persamaan posisi-waktu untuk percepatan konstan, yang juga dikenal sebagai persamaan gerak kedua [2].

$v=\frac{ds}{dt}$

$ds=v(dt)$

$ds=(v_{0}+at)dt$

$\int_{s_{0}}^{s}ds=\int_{0}^{t}(v_{0}+at)dt$

$s-s_{0}=v_{0}t+\frac{1}{2}at^{2}$

$s=s_{0}+v_{0}t+\frac{1}{2}at^{2}\left [ 2 \right ]$

Tidak seperti persamaan gerak pertama dan kedua, tidak ada cara yang jelas untuk mendapatkan persamaan gerak ketiga (yang menghubungkan kecepatan ke posisi) menggunakan kalkulus. Kita tidak bisa hanya merekayasa balik dari definisi. Kita perlu memainkan trik yang agak rumit.

Persamaan gerak yang pertama menghubungkan kecepatan dengan waktu. Yang pada dasarnya berasal dari turunan ini ...

$\small \frac{dv}{dt}=a$

Persamaan gerak kedua mengaitkan posisi ke waktu. Itu berasal dari turunan ini ...

$\small \frac{ds}{dt}=v$

Persamaan ketiga gerak menghubungkan kecepatan ke posisi. Dengan ekstensi logis, seharusnya berasal dari turunan yang terlihat seperti ini ...

$\small \frac{dv}{ds}=?$

Tapi apa ini sama? Yah tidak ada definisi yang pasti, namun untuk menyelesaikan masalah ini maka kita misalkan nilai ( $\small dv/ds$ ) dikalikan dengan 1. Kemudian kita akan menganggap 1 = ( $\small dt/dt$ ) dan versi khusus aljabar (aljabar dengan infinitesimal). Lihatlah apa yang terjadi ketika kita melakukan ini. Kami mendapatkan turunan yang setara dengan akselerasi ( $\small dv/dt$ ) dan lainnya sama dengan kebalikan kecepatan ( $\small dt/ds$ ).

$\small \frac{dv}{ds}=\frac{dv}{ds}1$

$\small \frac{dv}{ds}=\frac{dv}{ds}\frac{dt}{dt}$

$\small \frac{dv}{ds}=\frac{dv}{dt}\frac{dt}{ds}$

$\small \frac{dv}{ds}=a\frac{1}{v}$

Langkah selanjutnya, pemisahan variabel. Dapatkan hal-hal yang serupa dan satukan bersama. Inilah yang kita dapatkan ketika akselerasi konstan ...

$\small \frac{dv}{ds}=a\frac{1}{v}$

$\small v(dv)=a(ds)$

$\small \int_{v_{0}}^{v}v(dv)=\int_{s_{0}}^{s}a(ds)$

$\small \frac{1}{2}(v^{2}-v_{0}^{2})=a(s-s_{0})$

$\small (v^{2}=v_{0}^{2})+2a(s-s_{0})\textbf{[3]}$

Tentu saja hal ini merupakan solusi yang cerdas, dan itu tidak terlalu sulit daripada dua derivasi pertama. Namun, itu benar-benar hanya berhasil karena akselerasi konstan - konstan dalam waktu dan konstan dalam ruang. Jika akselerasi bervariasi dengan cara apa pun, metode ini akan sangat sulit untuk digunakan.

$\small v=v_{0}+at\textbf{[1]}$

$\small s=s_{0}+v_{0}t+\frac{1}{2}at^{2}\textbf{[2]}$

$\small (v^{2}=v_{0}^{2})+2a(s-s_{0})\textbf{[3]}$

Persamaan Gerak

0 Response to "Persamaan Gerak"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel